11.º · ES.F.33.5
Un plano para decidir dónde colocar estaciones
Para una exhibición de Matemáticas, un equipo diseña en papel un recorrido circular de radio 4 m, centrado en O. Un robot ficticio seguirá ese recorrido. El Este es el eje x positivo y el Norte es el eje y positivo. Los ángulos se miden en sentido antihorario desde el Este.
Usa el plano ampliado de la última página para dibujar las posiciones y conservarlo como evidencia de tu decisión.
1 · Construye antes de usar una tabla
En otro papel dibuja un cuadrado de lado 1 y su diagonal; luego un triángulo equilátero de lado 2 y su altura. Deduce los ángulos y longitudes faltantes con Pitágoras. ¿Cómo se convierten sus lados en coordenadas de un círculo de radio 1?
Registra tus deducciones y dibuja los radios de 30°, 45° y 60° en el plano.
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De los modelos a las coordenadas exactas
Trabaja primero en el círculo unitario: P = (cos θ, sen θ). Usa los triángulos especiales y las simetrías para completar la tabla; no midas longitudes en la impresión para obtener valores exactos. En el recorrido de radio 4, la posición será (4 cos θ, 4 sen θ).
| Ángulo | Radianes | cos θ | sen θ | tan θ = sen θ / cos θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | ________ | ________ | ________ |
| 30° | π/6 | ________ | ________ | ________ |
| 45° | π/4 | ________ | ________ | ________ |
| 60° | π/3 | ________ | ________ | ________ |
| 90° | π/2 | ________ | ________ | ________ |
| 120° | 2π/3 | ________ | ________ | ________ |
| 135° | 3π/4 | ________ | ________ | ________ |
| 150° | 5π/6 | ________ | ________ | ________ |
| 180° | π | ________ | ________ | ________ |
| 210° | 7π/6 | ________ | ________ | ________ |
| 225° | 5π/4 | ________ | ________ | ________ |
| 240° | 4π/3 | ________ | ________ | ________ |
| 270° | 3π/2 | ________ | ________ | ________ |
| 300° | 5π/3 | ________ | ________ | ________ |
| 315° | 7π/4 | ________ | ________ | ________ |
| 330° | 11π/6 | ________ | ________ | ________ |
Si cos θ = 0, escribe «no definida» para la tangente. Las posiciones cardinales se obtienen de los ejes; no se tratan como triángulos no degenerados.
2 · Explica, no solo completes
Justifica una fila del primer cuadrante con un triángulo y una fila de otro cuadrante con una simetría. ¿Por qué los signos cambian aunque las longitudes sean positivas?
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Selecciona estaciones y defiende el recorrido
3 · Una decisión con restricciones
El punto de partida es P a 30°. Para la estación Norte se consideran 45° y 60°. Debe cumplir: coordenada Norte ≥ 3 m y coordenada Este ≥ 2 m. Determina las dos posiciones exactas, marca ambas en el plano y decide cuál cumple. Compara con 3 sin depender de redondeos.
| Candidata | (Este, Norte), en metros | ¿Cumple ambas condiciones? |
|---|---|---|
| 45° | ________________ | ________________ |
| 60° | ________________ | ________________ |
Defensa: ________________________________________________________
4 · Otros dos puntos de observación
Desde P, el robot gira media vuelta hasta Q y, en una prueba independiente, refleja P respecto al eje Este–Oeste hasta R. Marca Q y R en el plano. Determina sus ángulos, coordenadas y razones trigonométricas exactas. Explica cuál es la rotación y cuál la reflexión.
5 · Explica qué ocurre para un ángulo cualquiera
Usando el dibujo, expresa sen, cos y tan de π + x y de 2π − x en términos de las razones de x. Aquí x representa un ángulo, no la coordenada horizontal. Indica cuándo la tangente no está definida.
6 · Salida individual
Una estación está a 90°. Un compañero afirma que tan 90° = 0 porque la coordenada Este es 0. ¿Tiene razón? Refuta o confirma con el cociente y explica dónde está esa estación en el recorrido de radio 4.
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Plantilla del recorrido: dibuja y comprueba
El círculo representa el recorrido de radio 4 m. Primero ubica los ángulos especiales. Marca P (30°), las candidatas Norte (45° y 60°), Q (media vuelta desde P) y R (reflejo de P respecto al eje Este–Oeste).
Representa las proyecciones horizontales y verticales de las candidatas. El dibujo apoya tu razonamiento; los valores exactos se deducen, no se miden con la regla.
| Punto | Ángulo | Coordenadas (Este, Norte), en metros |
|---|---|---|
| P | 30° | ____________________________ |
| Candidata 1 | 45° | ____________________________ |
| Candidata 2 | 60° | ____________________________ |
| Q | ________ | ____________________________ |
| R | ________ | ____________________________ |
Mi estación elegida: ____________. Señalo en el plano la evidencia que la apoya.