11.º · ES.F.33.5
Preparación, secuencia y alcance
ES.F.33.5 · Unidad 11.2: Trigonometría en el triángulo rectángulo (semanas 8–13 del catálogo).
• Usa triángulos especiales para determinar de forma geométrica los valores de seno, coseno y tangente de 0,π,π/2,π/3,π/4,π/6 y sus múltiplos.
• Usa el círculo unitario para expresar los valores de seno, coseno y tangente de x, π+ x, y 2π–x en términos de sus valores de x, donde x es un número real cualquiera.
Objetivo observable: deducir valores exactos con triángulos especiales; localizar posiciones en un círculo; justificar signos, simetrías y una decisión bajo restricciones.
Preparación: cuatro páginas por estudiante, lápiz y regla; papel adicional para las construcciones. Compás o calco opcionales. El círculo impreso es un modelo; no se requiere montaje, sensores ni un robot real. Prerrequisitos: Pitágoras, ángulos, coordenadas y significado de seno/coseno/tangente.
Sesión 1 · 40 minutos
- 5 min: plantear las estaciones, el origen y el sentido del giro.
- 15 min: construir los dos triángulos. Deducir √2 y √3; dividir los lados entre la hipotenusa para normalizar a radio 1.
- 15 min: tabla y reflejos por parejas. Preguntar: «¿Qué coordenada cambia de signo? ¿Qué conserva la simetría?».
- 5 min: justificar una posición cardinal y una de otro cuadrante.
Sesión 2 · 40 minutos
- 12 min: coordenadas de las candidatas y decisión.
- 12 min: ubicar P, Q y R; distinguir reflexión y media vuelta.
- 10 min: generalizar las seis identidades y su dominio.
- 6 min: salida individual y comparación de argumentos.
Apoyo: usar un triángulo de calco para reflejarlo; describir los cambios antes de escribir identidades. Las longitudes son positivas; los signos corresponden a coordenadas orientadas. Las medidas aproximadas del papel no prueban un valor exacto.
Evaluación sugerida (0–2 cada una): deducción geométrica; tabla y signos; decisión con ambas restricciones; identidades con dominio. 2: justificación coherente; 1: parcial; 0: evidencia aún ausente. Total 8. Lenguaje opcional: unit circle / círculo unitario; reflection / reflexión; exact value / valor exacto.
Procedencia: diseño y diagramas originales de PAM; indicador del catálogo cotejado DEPR. Contexto ficticio. OCR, triángulos especiales y OpenStax, círculo unitario son referencias externas de consulta, no fuentes de un contexto copiado ni actividades certificadas por DEPR.
11.º · ES.F.33.5
Solución y comprobaciones docentes
| θ | Radianes | cos θ | sen θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | No definida |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | No definida |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Deducción: cuadrado de lado 1 → hipotenusa √2 → coordenadas (√2/2, √2/2). Equilátero de lado 2 → altura √3 y semibase 1; a 30°: (√3/2, 1/2); a 60°: (1/2, √3/2).
Candidatas: 45° → (2√2, 2√2): Norte < 3 porque (2√2)² = 8 < 9. 60° → (2, 2√3): Norte > 3 porque 12 > 9 y Este = 2. Se elige 60°. Las cantidades comparadas son positivas, por eso es válido comparar cuadrados.
P: 30°, (2√3, 2); sen = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3. Q: 210° = 7π/6, (−2√3, −2); sen = −1/2, cos = −√3/2, tan = √3/3. R: 330° = 11π/6, (2√3, −2); sen = −1/2, cos = √3/2, tan = −√3/3.
Generalización: sen(π + x) = −sen x; cos(π + x) = −cos x; tan(π + x) = tan x. sen(2π − x) = −sen x; cos(2π − x) = cos x; tan(2π − x) = −tan x. Seno y coseno: todo x real. Tangente: solo si cos x ≠ 0 (x ≠ π/2 + kπ, k entero).
Salida: posición (0, 4) m; tan 90° = 1/0 no está definida. Cero en el denominador no produce cero. No aceptar «infinito» como valor de la tangente en ese ángulo.